Form 4 Chapter 8 : Circular Measure

CHAPTER 8 : CIRCULAR MEASURE

8.1  Radians  

1) An angle is measured in degree (°) or radians (rad).

2) 1 radian is the angle subtended at the centre of a circle by the arc of length which is equal to the radius of the circle.

  3) One full turn, 360° is 2π radian.

4) Convert degree to radian:
  

Example 1 : 
Convert the following angles to radains
(a) 27°
(b) 136.2°
(c) 205°
(d) 84°42'

Solution:

(a) 27° = 27  x  π/180°
            = 0.4712 rad

(b) 136.2°  =  136.3  x  π/180°
                 =  2.377 rad

(c) 205°  =  205  x  π/180°
               =  3.578 rad

(d) 84°42'  =  84.7°
                  =  84.7  x   π/180°
                  =  1.478 rad

5) Convert radian to degree:


Example 2 :
Convert the following angles to degree.
(a) 1.25 rad
(b) 0.8 rad
(c) π/2 rad
(d) 5π/3 rad

Solution :
   π rad = 180°

(a) 1.25 rad  =  1.25  x  180/π
                    =  71.62°

(b)  0.8 rad  =  0.8  x  180/π
                   =  45.84°

(c)  π/2 rad  =  π/2  x  180/
                    =  90°

(d) 5π/3 rad  =  5π/3  x  180/π
                    =  300°



8.2 Arc Length of a Circle

A. Formulae for Length and Area of a Circle

r = radius    A = area    s = arc length    q = angle    l = length of chord

B. Length of an Arc of a Circle

1) The diagram above show a circle with centre O and radius r. PQ is the minor arc and PRQ is a major arc.

2) The length of the arc PQ, s, is directly proportional to the angle θ.

3) The angle subtended by the arc PRQ at the centre of the circle, O, is (2π - θ).


Example 1 :
Calculate the length of the arc, s, of the following circles.

(a)

Solution :

                                                        r  =  6cm     ,      θ  =  0.75 rad

                                                          s  =  r θ

                                                              =  6  x  0.75

                                                              =  4.5 cm

(b)

Solution :                                   r  =  5 cm      ,       θ  =  3π/4 rad

                                                     s  =  r θ

                                                         =  5  x  3π/4

                                                         =  11.78 cm

Example 2 :

Calculate the arc length, s, of the following sectors.

(a)

Solution :                                        r  =  6.5 cm 

                                                 θ  =  72°

                                                     =  72  x  π/180

                                                     =  1.2566 rad    

                                                  s  =  rθ

                                                      =  6.5  x  1.2566

                                                      =  8.168  cm

(b)

Solution :                                        r  =  8 cm

                                                      θ  =  250°

                                                          =  250  x  π/180

                                                          =  4.3633 rad     

                                                       s  =  rθ

                                                           =  8  x  4.3633

                                                           =  34.91  cm

Example 3 :

The diagram below shows a circle with centre O and radius 9 cm.

Calculate the length of the malor arc AB.

Solution :

Let the angle subtended by the major arc AB at O be θ.

θ  =  360° - 115°

    =  245°

    =  245  x  π/180

    =  4.276 rad  

Length of the major arc AB  =  rθ

                                             =  9  x  4.276

                                             =  38.48 cm

Example 4 :

Calculate the radius , r, of the following circles.

(a)

Solution :                                       θ  =  0.8 rad     ,       s  =  6 cm

                                                  r  =  s/θ

                                                     =  6 / 0.8

                                                     =  7.5 cm

(b)

Solution :                                       

                                                            θ  =  2π  - 2π/3
                                                                =  4π/3

                                                            s  =  37.7 cm

                                                             r  =  s / θ

                                                                =  37.7 / 4π/3

                                                                =  9 cm

Example 5 :

The diagram shows a circle with centre O.

Given that the length of the major arc PQ is 39.8 cm, find the radius of the circle.

Solution:

θ  =  2π - 1.65

    =  4.6332

s  =  39.8

Radius of the circle, r  =  s/θ

                                    =  39.8 / 4.6332

                                    =  8.59 cm

Example 6 :

An arc, AB, of a circle of radius 5 cm subtends an angle of 1.5 radians at the centre.  Find the length of the arc AB.

Solution :
s = rθ
Length of the arc AB = (5)(1.5)
                                   = 7.5 cm

Example 7:




In the above diagram, find

(i) length of the minor arc AB

(ii) length of the major arc APB

Solution :

(i) length of the minor arc AB = rθ

= (7)(0.354)

= 2.478 cm

(ii) Since 360^o = 2π radians, 
the reflex angle AOB

= (2π – 0.354) radians.

Length of the major arc APB

= 7 × (2π – 0.354)

= 7 × [(2)(3.1416) – 0.354]

= 7 × 5.9292

= 41.5044 cm


Mind Map:






Video:
1. Finding Arc Length of a Circle

2. How do we Find the Length of an Arc